Prix de rachat d'une machine industrielle

Dans cet exercice, toutes les sommes seront arrondies à l’unité.
Un industriel a acheté en 2015 une machine neuve pour un prix de \(54\,000\) €.

1. On appelle valeur de reprise le prix de rachat par le fabricant de la machine usagée pour l’achat d’une nouvelle machine neuve. Cette valeur de reprise diminue chaque année de \(15~ \%\) de la valeur qu’elle avait l’année précédente.
On note \(R_n\) cette valeur de reprise, exprimée en euro, \(n\) années après l’achat de la machine neuve. Si l’industriel décide de revendre la machine l’année de son achat, la valeur de reprise correspond au prix d’achat. Ainsi, \(R_0 = 54 \, 000\) .
    a. Vérifier que \(R_1 = 45\, 900\) .
    b. Exprimer \(R_{n+1}\) en fonction de \(R_n\) .
    c. En déduire la nature de la suite \((R_n)\) . Préciser ses éléments caractéristiques.
    d.  Exprimer \(R_n\) en fonction de \(n\) .
    e. Quel sera le prix de rachat en 2025 ?
2. Chez le fabricant, le prix de vente de la machine neuve augmente de \(800\) euros chaque année. On note \(P_n\) ce prix l’année \(2015 + n\) . Ainsi \(P_0= 54 \,000\) .
    a. Calculer les cinq premiers termes de la suite \((P_n)\) .
    b. Démontrer que \((P_n)\) est une suite arithmétique.
     c. Exprimer \(P_n\) en fonction de `n` .
3. En 2015, l’industriel projette de racheter une machine neuve du même type en 2020 et de revendre l’ancienne machine au fabriquant.
Montrer que l’industriel devra débourser \(34\, 040\) € pour l’achat de cette nouvelle machine.
4. Question à prise d'initiative

L’industriel décide finalement de conserver plus longtemps sa machine achetée en 2015. En utilisant éventuellement une feuille de calcul, déterminer au bout de combien d’années la somme à débourser par l’industriel sera supérieure à \(54 \,000\) €.